FORMULARIO DERIVADAS E INTEGRALES PDF

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Author:Mezigal Samugor
Country:Argentina
Language:English (Spanish)
Genre:Video
Published (Last):23 January 2010
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Como ejemplo, expresemos la diferencial de la funciуn: , ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales: Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P a, b , para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y por b.

Para la funciуn las derivadas en el punto P 1, 2 son: y la diferencial en ese punto: 10B. Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera: Se trata de derivar respecto de x la derivada. Se trata de derivar respecto a x la derivada.

Se trata de derivar respecto a y la derivada. Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la funciуn : Las derivadas son llamadas "derivadas mixtas", obsйrvese en el ejemplo cуmo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.

El teorema de Schwarz dice: "Es suficiente que las derivadas existan en una cierta bola del punto P, y que la derivada segunda de f con respecto a xy sea continua en este punto, para que tengamos: es decir, que las derivadas mixtas sean iguales en los puntos de esa bola". En general, las condiciones de este teorema se cumplen salvo para algunos puntos excepcionales , por lo que nosotros siempre consideraremos iguales a estas derivadas cruzadas.

En otras palabras, estas matrices son simйtricas. Hallemos, para la funciуn z de nuestro ejemplo, la diferencial de z en el punto P 1,2 : 10B. Tйngase en cuenta que dx puede ser igual a -dy, y por tanto d2z puede hacerse 0. Otra forma, algo menos efectiva, de estudiar los mбximos y mнnimos locales de una funciуn de n variables, es la utilizaciуn del Hessiano. Sea una funciуn de n variables, , se llama Hessiano de esta funciуn al determinante: O mбs concretamente se habla del "Hessiano de la funciуn f en el punto ": en el que cada derivada segunda de f estб realizada en el punto P.

A partir de este determinante hessiano se elimina la ultima fila y la ultima columna, con lo que se obtiene el "hessiano reducido", D 1. Entonces, lo que puede decirse de P estб expresado en la siguiente tabla: en el caso de que alguno de estos hessianos sea nulo ese punto queda indeterminado y habrнa que utilizar el mйtodo de la diferencial visto en la cuestiуn anterior. Estos dos puntos son:.

Y a continuaciуn hacemos el estudio de los hessianos para cada uno de estos dos puntos. Vamos a expresar las derivadas de la funciуn z con respecto a esas variables, que siguen la misma pauta multiplicativa de las funciones de una variable: Para establecer estas derivadas nosotros debemos guiarnos por el esquema de la dependencia lineal. Hallemos las derivadas de z respecto de x, y. Bien, en consonancia con el enunciado, la dependencia de la funciуn z con respecto a las variables ultimas x,y es la siguiente: En el fondo tenemos la funciуn z como dependiente de las variables x, y.

Por tanto, las dos derivadas primeras se expresarбn: 10B. Vamos a ver ahora cуmo establecer las derivadas segundas, terceras, etc. Para ello debe tenerse en cuenta el siguiente lema: "Las derivadas de una funciуn tienen la misma dependencia lineal que la funciуn.

Aclarйmoslo mediante un ejemplo. La dependencia lineal de la funciуn z con respecto a estas dos variables es: Entonces, las derivadas primeras de z son: Para hallar las derivadas segundas de z hay que derivar estas derivadas primeras, para ello debemos: 1 dejarlas solamente con las variables x, y; 2 considerar el lema anterior.

Con las derivadas asн expresadas, ya podemos comprender que estas son funciones de x,y que a su vez siguen siendo funciones de r,j , es decir, la dependencia de cada una de ellas es la misma que la de z tal como dice el lema : Y siguiendo estos esquemas tendremos para las derivadas segundas: Ahora sustituimos en los miembros de la derecha, dentro de los parйntesis, las expresiones correspondientes de la derivada primera.

Por ejemplo, vamos a hacer la ъltima de ellas: y ahora derivamos estos parйntesis y tambiйn sustituimos el valor de las derivadas con respecto de j. Caso I. Una funciуn de una variable. Al final la expresiуn matemбtica de arriba quedarб en la forma: En este caso la dependencia lineal de la funciуn y t es: por tanto la derivada de y respecto de x se expresarб: donde se ha tenido en cuenta la siguiente propiedad: Una vez obtenida la primera derivada, obtendremos la derivada segunda sin mбs que derivar la primera.

Veбmoslo mediante un ejemplo: Ejemplo. Caso II. Una funciуn de dos variables: Supongamos que tenemos una expresiуn matemбtica E normalmente supondremos una ecuaciуn diferencial en la forma: Si ahora hacemos un cambio de variables, pasando de las variables x, y a las u, v, en la forma: se trata de transformar esta expresiуn matemбtica o ecuaciуn diferencial E que tenemos.

Entonces nos encontramos con la dependencia lineal [2]: [ Nota 2 ]: Siempre que sea posible despejar u, v en la forma u x,y , v x,y , aunque tampoco es gran problema la imposibilidad de despejarlas.

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